Stratos Gerakakis

Στατιστική ανάλυση του Κίνο

Tagged as: lotto  keno  statistics 

Nov 24 2004

Για το καινούριο παιχνίδι του ΟΠΑΠ, Κίνο, ο μοναδικός πίνακας που είναι δημοσιευμένος για το παιχνίδι στο έντυπο υλικό του ΟΠΑΠ είναι ο Πίνακας Συντελεστών Κέρδους. Ποιές είναι όμως οι πιθανότητες για να κερδίσεις σε αυτό το παιχνίδι? Πόσο δίκαιο είναι το παιχνίδι?

Με την βοήθεια του Excel και με λίγη προχωρημένη γνώση στατιστικών μπορούμε να κατασκευάσουμε ακόμα μερικούς πίνακες και να δούμε το παιχνίδι με διαφορετικό μάτι.

Πώς παίζεται το Κίνο

Στο Κίνο υπάρχουν 80 αριθμοί και κάθε 5 λέπτα κληρώνονται 20 αριθμοί. Ο παίκτης καλείται να επιλέξει την ποσότητα των αριθμών που επιθυμεί να προβλέψει και ανάλογα με πόσους μάντεψε σωστά κερδιζει και τα ανάλογα χρήματα. Σε τρεις κατηγορίες παιχνιδιών (μαντεύοντας 10, 11 ή 12 αριθμούς) ο παίκτης μπορεί να κερδίσει ακόμα και αν δεν έχει μαντέψει σωστά κανέναν αριθμό.

.. TEASER_END

Πίνακας 1 (Πίνακας Συντελεστών Κέρδους)

======== ========== ======= ======== ======= ====== ===== ===== === === ==== = ==== Επιλ.Αρ. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12 1,000,000 11 25,000 500,000
10 2,500 15,000 100,000 9 1,000 1,500 10,000 40,000
8 150 250 500 4,000 15,000 7 25 50 80 200 1,000 5,000 6 5 10 20 25 50 100 1,600 5 1 2 5 10 20 50 450 4 1 2 3 7 20 100 3 1 1 2 4 25 2 1 2.50 5 1 1 2.50 0 4 2 2
======== ========== ======= ======== ======= ====== ===== ===== === === ==== = ====

Σε αυτόν τον πίνακα ο παίκτης βλέπει πόσα κερδίζει ανάλογα με πόσους αριθμούς μάντεψε σωστά. Για παράδειγμα αν επέλεξε 10 αριθμούς και μάντεψε σωστά τους 8 από αυτούς, τότε πολλαπλασιάζει το κόστος του δελτίου του με 500 και βρίσκει το κέρδος του. (στην στήλη με το 10 “κατεβαίνει” μέχρι την γραμμή 8 (τους αριθμούς που μάντεψε σωστά) και βρίσκει τον πολλαπλασιαστή του).

Πιθανότητες επιτυχίας

Ο υπολογισμός πιθανοτήτων για κάθε κατηγορία παιχνιδιού βασίζεται στον υπολογισμό του hypergeometric distribution. Η μαθηματική φόρμουλα::

                  c(ΕΑΠ, ΣΜΑ) * c(ΣΑΠ-ΕΑΠ, ΕΑΠ-ΣΜΑ)
p(ΕΑΠ, ΣΜΑ) =  ----------------------------------------
                          c(ΣΑΠ, ΕΑΠ)

όπου:

  • ΕΑΠ: Επιλεγμένοι Αριθμοί Παίκτη
  • ΣΜΑ: Σωστά Μαντεμένοι Αριθμοί
  • ΣΑΠ: Σύνολο Αριθμών Παιχνιδιού (80)
  • ΕΑΠ: Επιλεγμένοι Αριθμοί Παιχνιδιού (20)
  • p(): Οι πιθανότητες αυτού του γεγονότος
  • c(): Οι συνδυασμοί αυτού του γεγονότος

δίνει την πιθανότητα για κάθε περίπτωση. Ο υπολογισμός όλων των δυνατών συνδυασμών c(a, b) βγαίνει από τον τύπο::

                α!
c(α, β) = ----------------
            β! * (α - β)!

με α! και β! να είναι το αλφα παραγοντικό, δηλαδή το γινόμενο 1 * 2 * 3 * … * (α-1) * α.

Βάζοντας όλα αυτά στο Excel (και παίρνοντας το 1/x του αποτελέσματος ώστε να έχουμε 1 προς κάτι επιτυχίες) παίρνουμε τον πίνακα:

Πίνακας 2: Πιθανότητες Επιτυχίας ανά Παιχνίδι (1 στα Χ παιχνίδια)

==== ============= ============ =========== =========== ========= ======== ======= ======= ===== ===== ====== ===== Αρ. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ==== ============= ============ =========== =========== ========= ======== ======= ======= ===== ===== ====== ===== 12 478,261,833
11 5,978,273 62,381,978
10 184,230 945,182 8,911,711
9 10,482 35,244 163,381 1,380,688
8 981 2,431 7,385 30,682 230,115
7 142 277 621 1,690 6,232 40,979
6 31 50 87 175 423 1,366 7,753
5 14 19 31 55 116 323 1,551
4 9 12 19 35 83 326
3 6 8 12 23 72
2 5 7.2 16.6
1 2.6 4.0
0 43 31 22
==== ============= ============ =========== =========== ========= ======== ======= ======= ===== ===== ====== =====

Πώς διαβάζεται αυτός ο πίνακας? “”“”“”“”“”“”“”“’

Συνεχίζοντας το προηγούμενο παράδειγμα (ο παίκτης να πετύχει 8 από τους 10 αριθμούς) βλέπουμε πως αυτό γίνεται μια φορά στα 7,385 παιχνίδια που θα έχει παίξει ο παίκτης. Στατιστικά, δηλαδή, θα πετυχαίνουμε 8 στους 10 αριθμούς κάθε 7,385 φορές που θα παίζουμε. Σε άλλο παράδειγμα, στατιστικά, για να “πιάσουμε” 5 στους 5 αριθμούς θα πρέπει να παίξουμε τουλάχιστον 1551 παιχνίδια (εκτός και αν είμαστε τόσο τυχεροί και τους πιάσουμε από το πρώτο παιχνίδι).

Αν θέλουμε να δούμε αυτά τα στατιστικά με λίγο διαφορετική μορφή μπορούμε να υπολογίσουμε πόσες φορές θα κερδίσουμε σε κάθε κατηγορία αν παίξουμε 1000 παιχνίδια σε κάθε μία κατηγορία.

Τότε προκύπτει ο Πίνακας 3.

Πίνακας 3: Πιθανότητες Επιτυχίας (στα 1000 παιχνίδια)

===== ========= ========= ========= ========= ========= ========= ========= ====== ======= ======= ======= ======= Επιτ. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ===== ========= ========= ========= ========= ========= ========= ========= ====== ======= ======= ======= ======= 12 0 *
11 0 * 0 *
10 0 * 0 * 0 *
9 0 * 0 * 0 * 0 *
8 1 0 * 0 * 0 * 0 *
7 7 4 2 1 0 * 0 *
6 32 20 11 6 2 1 0 *
5 99 74 51 33 18 9 3 1
4 206 179 147 114 82 52 29 12 3
3 280 278 267 246 215 175 130 84 43 14
2 238 268 295 316 328 327 308 270 213 139 60
1 114 144 180 221 266 315 363 406 433 431 380 250
0 23 33 46 64 88 122 167 227 308 417 560 750
===== ========= ========= ========= ========= ========= ========= ========= ====== ======= ======= ======= =======

(*): Το 0 σε αυτές τις περιπτώσεις, σημαίνει ότι η πιθανότητα να κερδίσεις σε αυτήν την κατηγορία, παίζοντας 1000 μόνο παιχνίδια, είναι τόσο στατιστικά μικρή, που μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι μηδέν.

Πώς διαβάζεται αυτός ο πίνακας? “”“”“”“”“”“”“”“’

Το Κίνο πληρώνει μόνο στα κουτάκια με τους έντονους αριθμούς. Τα απλά κουτάκια απλά μας δείχνουν τις πιθανότητες να μαντέψουμε λανθασμένη ποσότητα κληρωμένων αριθμών (που δυστυχώς δεν πληρώνουν και τίποτα) Αν εξετάσουμε μια στήλη, ας υποθέσουμε την περίπωση που επιλέγουμε 10 αριθμούς, βλέπουμε ότι στα 1000 παιχνίδια πιο πιθανό είναι να έχουμε πετύχει 2 σωστούς αριθμούς (το 295 στην κάθετη στήλη του 10). Επίσης, επειδή το Κίνο πληρώνει μόνο όταν έχουμε πιάσει πάνω από 4 σωστούς αριθμούς, βλέπουμε ότι μόνο στα 2 + 11 + 51 + 46 = 110 από τα 1000 παιχνίδια μπορούμε να κερδίσουμε κάτι. Και επειδή 1000 / 110 = 9.05 μόνο από 1 στα 9.05 παιχνίδια θα έχουμε επιτυχία. Με αυτόν τον τρόπο επιβεβαιώνουμε και την πιθανότητες που δημοσιεύονται στο φυλλάδιο του Κίνο σχετικά με τις πιθανότητες κέρδους ανά τύπο παιχνιδιού.

Πίνακας 4: Πιθανότητες Κέρδους ανά Τύπο Παιχνιδιού

==== ======== ======== ========= ======= ======== ======== ======== ========= ======== ======== ======== ======= .. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
==== ======== ======== ========= ======= ======== ======== ======== ========= ======== ======== ======== ======= 1:X 1:15.73 1:7.63 1:9.05 1:6.53 1:9.77 1:4.23. 1:6.19 1:10.34 1:3.86 1:6.55 1:2.27 1:4
% 6.36% 13.10% 11.05% 15.31% 10.23% 23.66% 16.16% 9.67% 25.89% 15.26% 43.99% 25.00%
==== ======== ======== ========= ======= ======== ======== ======== ========= ======== ======== ======== =======

ΟΚ, μέσες άκρες γνωρίζουμε τώρα καλύτερα τις πιθανότητες να κερδίσουμε σε κάθε μία από τις κατηγορίες παιχνιδιών. Το τελευταίο που μένει να κάνουμε είναι να δούμε πόσο πληρώνει ο ΟΠΑΠ ανάλογα με τους συντελεστές που έχει ορίσει σε κάθε κατηγορία.

Αν υπολογίσουμε σε κάθε περίπτωση την πιθανότητα να κερδίσουμε X σωστούς αριθμούς και το πολλαπλασιάσουμε με τον συντελεστή κέρδους του και την αξία του δελτίου βγάζουμε το υποθετικό μας κέρδος. Για παράδειγμα (συνεχίζοντας το 8 στους 10 αριθμούς) έχουμε (1 / 7385) * 500 * 0.5 = 0.034€. Συνεχίζοντας έτσι με όλους τους υπόλοιπους συνδυασμούς έχουμε τον Πίνακα 5.

Πίνακας 5: Στατιστικό κέρδος για κάθε κατηγορία (απλού δελτίου 0.5€)

==== ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= .. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
==== ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= 12 0.001
11 0.002 0.000
10 0.007 0.008 0.006
9 0.048 0.021 0.031 0.014
8 0.076 0.051 0.034 0.065 0.033
7 0.088 0.090 0.064 0.059 0.080 0.061
6 0.081 0.101 0.115 0.071 0.059 0.037 0.103
5 0.037 0.051 0.082 0.092 0.086 0.077 0.145
4 0.057 0.082 0.078 0.100 0.121 0.153
3 0.087 0.065 0.084 0.086 0.173
2 0.106 0.173 0.150
1 0.190 0.313
0 0.046 0.033 0.046
==== ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= ======= =======

Πώς διαβάζεται αυτός ο πίνακας? “”“”“”“”“”“”“”“’

Αυτός ο πίνακας μας λέει ότι για κάθε 0.5€ που παίζουμε αν επιλέξουμε μια κατηγορία παιχνιδιού τότε μπορούμε να αναμένουμε και το ανάλογο κέρδος. Για παράδειγμα, στους 8 από τους 10 σωστούς αριθμούς το κέρδος μας θα είναι 0.068€.

Μια στιγμή… Αν πιάσουμε 8 στους 10 αριθμούς δεν κερδίζουμε 500 * 0.5 = 250€…? Μα φυσικά, αλλά η πιθανότητες να γίνει αυτό είναι 1 στις 7.384.5 οπότε και το στατιστικό μας κέρδος είναι αναλογικά μικρότερο.

Τέλος, διαλέγοντας μία κατηγορία παιχνιδιού (επιλέγοντας να παίξουμε 1, 2, 3 ή 12 αριθμούς) το πιθανό μας κέρδος είναι το άθροισμα κάθε στήλης στην ανάλογη κατηγορία. Έτσι έχουμε τον Πίνακα 6.

Πίνακας 6: Συνολικό Στατιστικό Κέρδος (απλού δελτίου 0.5€)

========= ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
========= ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== 0.3489 0.3456 0.3465 0.3489 0.3450 0.3498 0.3454 0.3500 0.3460 0.3469 0.3402 0.3125
========= ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ========

Παρατηρούμε ότι εδώ το συνολικό κέρδος ανα κατηγορία είναι σχετικά το ίδιο, με πολύ μικρές διαφορές. Βέβαια δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι, ενώ το ονομάζουμε κέρδος, στην πραγματικότητα μόνο κέρδος δεν είναι αφού για να κερδίσουμε αυτό το ποσό πρέπει να πληρώσουμε 0.5€ (το κόστος του δελτίου). Και αφού το κέρδος μας (στατιστικά πάντα μιλώντας) είναι μικρότερο από το κόστος μας, μιλάμε για χασούρα και όχι για κέρδος.

Τέλωσπαντων, και για να φτάσουμε στο τελικό πίνακα, μας μένει να υπολογίσουμε το ποσό του κέρδους μας ανά κατηγορία παιχνιδιού. Υπολογίσαμε τις πιθανότητες να κερδίσουμε ανά κατηγορία και το ποσό που αναμένουμε να κερδίσουμε από κάθε κατηγορία. Ποια κατηγορία μας συμφέρει περισσότερο να παίξουμε…? Θα μπορούσαμε να επιλέξουμε την κατηγορία στην οποία έχουμε και τις περισσότερες επιτυχίες να κερδίσουμε (Πίνακας 4) , αλλά θα πρέπει να υπολογίσουμε και ποια κατηγορία πληρώνει καλύτερα (αν και από τον Πίνακα 6 σχεδόν όλες πληρώνουν το ίδιο). Αν όμως πολλαπλασιάσουμε τους πίνακες μεταξύ τους έχουμε και τον τελικό Πίνακα.

Πίνακας 7: Τελικός Πίνακας Κέρδους (απλού δελτίου 0.5€)

========= ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
========= ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== 0.0222 0.0453 0.0383 0.0534 0.0353 0.0828 0.0558 0.0338 0.0896 0.0529 0.1496 0.0781
========= ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ======== ========

Συμπέρασμα

Από τον Πίνακα 7 μπορούμε να βγάλουμε κάποια περίεργα συμπεράσματα. Βλέπουμε ότι παίζοντας στην κατηγορία 12 αριθμών έχουμε τουλάχιστον 6 φορές λιγότερο κέρδος από την κατηγορία 2 αριθμών (0.1496 / 0.0222 = 6.73). Επίσης, βλέπουμε ότι την καλύτερη απόδοση την έχουμε όταν επιλέξουμε 2 αριθμούς, με κέρδος 0.1496€. Επίσης η επιλογή 4 και 7 αριθμών έρχονται αμέσως μετά σαν οι καλύτερες επιλογές.

Άρα σαν τελικό συμπέρασμα, θα επιλέγαμε την Κατηγορία 7 αριθμών σαν την πιό αποδοτική (για να αφήσουμε ανοικτή και την πόρτα στην τύχη μας, αγνοούμε τις “μικρές” Κατηγορίες 2 και 4) μιας και έχει μεγαλύτερους συντελεστες απόδοσης, και αν η θεά Τύχη μας χαμογελάσει, ίσως και να πιάσουμε και τους 7 αριθμούς για το maximum της απόδοσης της Κατηγορίας.

Μπορούμε με αυτά τα στατιστικά στοιχεία να πούμε με σιγουριά τι πρέπει κανείς να παίξει για να είναι σίγουρος νικητής…? Όχι, βέβαια. Δεν πα να γράφω τις άπειρες σελίδες με στατιστικά. Όταν η γιαγια μου παίξει 12 αριθμούς (την πρώτη φορα που παίζει στην ζωή της) και πιάσει και τους 12, είχε διαβάσει καθόλου τα στατιστικά…?

Γιατί όπως, σωστά λέει και ο ΟΠΑΠ… Και αν σου κάτσει…?

Σημείωση

Όλοι οι υπολογισμοί υπάρχουν και σε ένα Google Docs spreadshee, αν θέλετε να επιβεβαιώσετε ή να δείτε πως έχουν υπολογισθεί όλα αυτά.